Tổng hợp tất cả tài liệu bài tập tổ hợp chuẩn nhất

1. Tổ hợp là gì? Các ví dụ và cách giải tổ hợp

Trong các dạng bài tập Đại số chẳng tổ hợp là cách ta chọn những phần tử khác nhau trong một nhóm lớn hơn các phần tử mà không phân biệt thứ tự. Với các trường hợp bé hơn, ta có thể đếm được số tổ hợp.

Định nghĩa cho tổ hợp: Cho tập Z gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( k sẽ lớn hơn hoặc bằng 1 và k nhỏ hơn hoặc bằng n), phần tử của Z được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Trong đó, n và k nguyên dương.

Ký hiệu của tổ hợp chập k của n phần tử là: nCk = Akn/k! = n!/(n-k)!

Trong đó ta quy ước: nC0 = 1

Bên cạnh đấy, tổ hợp sẽ còn những tính chất theo công thức bạn cần ghi nhớ.

Ví dụ cho tổ hợp: 1 tổ của 9 bạn, lấy đi 4 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn đó. 

Lời giải: Ta lấy từ 9 người 4 người và không sắp xếp theo thứ tự:

9C4 = 9!/(9-4)!*4!

 - Tổ hợp không lặp

Cho tập hợp P gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( k sẽ lớn hơn hoặc bằng 1 và k nhỏ hơn hoặc bằng n), phần tử của P được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Trong đó, n và k nguyên dương.

- Tổ hợp lặp: 

Cho tập X = {a1, a2, a3,...,an} và số tự nhiên i bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập i của n phần tử là một tổ hợp gồm i phần tử, trong đó mỗi phần tử trong n phần tử của X.

Các dạng bài tập hợp các bạn có thể tải về:

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

2. Phân biệt tổ hợp với hoán vị và chỉnh hợp

Tiếp theo ta cần phân biệt được khi nào dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào thì kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thành bài toán tổng hợp.

Hoán vị và chỉnh hợp có sắp xếp thứ tự các phần tử còn tổ hợp thì không. Khi sắp xếp các phần tử, hoán vị sẽ sắp xếp toàn bộ (n phần tử), còn chỉnh hợp chỉ sắp xếp k phần tử trong n phần tử mà thôi.

Hoán vị:

- Ví dụ cho hoán vị: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn vào 5 chiếc ghế theo chiều ngang?

- Đáp án: Ta có thể sắp xếp thứ tự cho 5 bạn: P5 = 5!

Chỉnh hợp:

- Ví dụ cho chỉnh hợp: Từ các số 5,6,10,13 có bao nhiêu số tự nhiên có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau.

- Đáp án: Ta lấy từ 4 số (5,6,10,13) ra 2 số và sắp xếp thứ tự:

4A2 = 4!/(4-2)!

>> Xem thêm: Cách sử dụng máy tính Casio fx 570ms

3. Tại sao phải học tổ hợp

Bài toán tổ hợp là bài toán sẽ được đưa vào đề thi cuối kỳ lớp 11 và trong cả đề thi Đại học. Những dạng bài toán này sẽ chiếm tầm 2-3 điểm trong bài thi toán cuối kỳ và tầm 1-2 câu trong đề thi Đại học.

Bên cạnh đó, việc học tốt các kiến thức liên quan đến tổ hợp sẽ giúp các bạn có nền tảng để học bài toán xác suất sau đó. Chưa kể, nếu các bạn theo học các khối ngành Kinh tế, Kỹ thuật trên Đại học, các bạn sẽ cần áp dụng tính chất của tổ hợp vào các môn toán, xác suất. Có thể nói không thể trốn tránh bài tập tổ hợp.

>> Xem thêm: Cách học toán hiệu quả

4. Các kiến thức cần nắm chắc trước khi làm bài tập tổ hợp

- Quy tắc cộng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo 1 trong 2 phương án đưa ra là phương án X hoặc Y. Nếu phương án X thì sẽ có x cách thực hiện, phương án Y có y cách thực hiện (trong đó không có phương án nào trùng với bất kỳ cách nào trong phương án X) thì công việc đó có x+y cách thực hiện.

Ví dụ: Trong một cuộc thi văn hóa, ban tổ chức công bố danh sách các chủ đề: 8 chủ đề về lịch sử, 9 chủ đề về môi trường, 10 chủ đề về thiên nhiên, 5 chủ đề về con người. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn chủ đề.

Giải: Áp dụng quy tắc cộng, ta có: 8 + 9 + 10 + 5 = 32 cách chọn.

- Quy tắc nhân: Một công việc nào đó có hai công đoạn là X và Y. Nếu công đoạn X có x cách thực hiện, công đoạn Y có y cách thực hiện thì công việc đó có x*y cách thực hiện.

Ví dụ: Bạn Lan qua nhà Cường, rủ Cường qua nhà An chơi. Biết từ nha Lan đến nhà Cường có 2 con đường đi khác nhau. Từ nhà Cường qua nhà An có 5 con đường khác nhau. Hỏi bạn Lan muốn tới nhà An chơi thì có bao nhiêu cách chọn con đường đi.

Giải: Từ nhà Lan qua nhà An có: 2*5 = 10 cách.

5. Các dạng bài tập tổ hợp

Dạng 1: Có bao nhiêu tập hợp gồm 2 chữ số khác nhau được tạo thành từ những số (5,10,12,15).

Cách giải tương tự như trên.

Dạng 2: Bốc đồ vật.

VD: Có hai hộp chứa các quả cầu: hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả vàng. Đề bài hỏi ta có bao nhiêu cách để lấy 3 quả cầu sao cho:

a. 3 quả bất kỳ.

b. 3 quả vàng.

c. 3 quả đỏ.

d. 3 quả trong đó có 2 quả đỏ, 1 quả vàng.

e. 3 quả sao cho trong đó có ít nhất 1 quả đỏ.

f. 3  quả trong đó bắt buộc phải có 1 quả vàng.

Chú ý khi giải bài dạng này luôn phải đặt quâ hỏi ta có bao nhiêu quả để chọn và chọn bao nhiêu quả.

Cách giải: 

a. Nếu chọn ra 3 quả bất kỳ thì có bao nhiêu quả để chọn? ( có 3+2+4+6 quả để chọn) và chọn 3 quả trong 15 quả nên số cách chọn là: 15C3 = ? 

b. Nếu chọn ra 3 quả đỏ thì ta có bao nhiêu quả để chọn? ( có 3 + 4 quả đỏ ở cả 2 hộp để chọn )  

Số cách chọn 3 quả đỏ trong 2 hộp là: 7C3 = ?

c. Tương tự với 3 quả vàng? 

d. 3 quả trong đó 2 đỏ, 1 vàng: 

+ Số cách chọn 2 quả đỏ ở 2 hộp là: 7C2 = ? 

+ Số cách chọn 1 quả vàng ở 2 hộp là: 8C1 = ? 

vậy số cách chọn 3 quả trong đó có 2 quả đỏ, 1 quả vàng là: 7C2*8C1 = ?

e. ta chia thành 3 trường hợp: 

+ TH1: 1 đỏ, 2 vàng. 

+ TH2: 2 đỏ, 1 vàng. 

+ TH3: 3 đỏ. 

Sau đó ta làm tương tự như các phần trên rồi cộng kết quả ở 3 trường hợp lại.

f. Làm tương tự phần e (3 quả trong đó có ít nhất 1 quả màu vàng )

Dạng 3: Viết triển khai nhị thức Newton và các bài toán liên quan đến triển khai nhị thức Newton. Đây là dạng bài khá khó, cần các bạn tư duy và phân tích tỉ mỉ. Đồng thời ôn luyện nhiều các đề mới có thể nhuần nhuyễn được.

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

 Tải xuống ngay

Trên đây là các kiến thức đại số liên quan đến tổ hợp, bao gồm định nghĩa, công thức và các dạng bài tập liên quan. Các bạn có thể tải tài liệu bài tập tổ hợp tại đây. Đây là những tài liệu đã được chắt lọc, có những đề từ dễ đến khó và kèm lời giải để các bạn tham khảo. Mong rằng sau khi đọc bài viết và luyện đề chăm chỉ, các bạn sẽ không sợ toán đại, sợ các bài tập tổ hợp nữa. Chúc các bạn may mắn học thật tốt, chuẩn bị hành trang và kiến thức tổ hợp để ứng dụng sau này.