Tổng hợp các dạng nguyên hàm đặc biệt hay sử dụng trong toán học

1. Nguyên hàm dùng để làm gì? Hay ứng dụng của nguyên hàm

Trong toán học giải tích khác xa với các dạng toán học thông dụng như bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, cách chứng minh hình bình hành, bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải, các dạng bài tập về vectơ lớp 10, các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức,... người ta dùng tích phân để tìm nguyên hàm của một hàm số gốc. Một nguyên hàm F sẽ có đạo hàm là f, người học cần tích phân đạo hàm để tìm nguyên hàm. Việc đi tìm nguyên hàm khó khăn hơn rất nhiều so với việc tìm đạo hàm f của một nguyên hàm F.

Mục đích sử dụng nguyên hàm là gì, đây là câu hỏi được rất nhiều người quan tâm. Nguyên hàm cho phép chúng ta đạo hàm để tìm ra sự thay đổi tốc độ của một hàm số dựa vào đồ thị hàm số âm hay dương. Những tưởng nguyên hàm chỉ áp dụng trong toán học, tuy nhiên nó có quy mô vượt ra rất nhiều ngành nghề. Chẳng hạn ứng dụng nguyên hàm trong kinh tế như xác định tốc độ tăng trưởng tối ưu hay trong kỹ thuật để xác định lượng nguyên liệu tối ưu trong một sản phẩm,...

Nguyên hàm bao gồm các nguyên hàm cơ bản và nguyên hàm đặc biệt. Trong thực tế, chúng ta thường gặp các nguyên hàm đặc biệt hơn do tính chất phức tạp của sự việc. Mục tiếp theo, chúng tôi đã tổng hợp cho người đọc một số dạng nguyên hàm đặc biệt giúp người đọc hệ thống hóa kiến thức tốt hơn.

>> Xem thêm: Bài tập tổ hợp xác suất

2. Các tính chất cần nhớ khi học nguyên hàm

Ở đây, chúng tôi đề cập tới bốn tính chất cơ bản khi đi tìm nguyên hàm. Bốn tính chất được liệt kê dưới đây:

Tính chất 1, nguyên hàm của cả tích phân [f(x).dx] bằng hàm f(x).

Tính chất 2, tích phân của tích giữa hằng số và hàm số thì bằng tích của hằng số với tích phân hàm số: tích phân của [k.f(x).dx]=k.tích phân của [f(x).dx]

Tính chất 3, tích phân của một tổng các hàm số bằng tổng tích phân của từng hàm số.

Tính chất 4, tương tự tính chất 3, tích phân của một hiệu các hàm số bằng hiệu tích phân các hàm số.

>> Xem thêm: Trung tâm luyện thi đại học

3. Tổng hợp các dạng nguyên hàm đặc biệt

Trước tiên để đi đến nguyên hàm đặc biệt, học sinh cần nhớ được định nghĩa nguyên hàm và các nguyên hàm cơ bản. Do các nguyên hàm đặc biệt cốt lõi đều được phát triển từ nguyên hàm cơ bản.

Nguyên hàm được định nghĩa như sau:

Hàm số F là nguyên hàm của hàm số f trên một tập hợp R khi thỏa mãn hai điều kiện: Hàm số F(x) khả vi trên tập R và đạo hàm của hàm số F(x) bằng f(x), với mọi x thuộc tập R. Giả sử hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập R. Từ đó suy ra, hàm số y=F(x)+C, với C là hằng số thì y cũng là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập R và ngược lại. Kết luận, hàm y = F(x)+C là nguyên hàm của hàm f trên tập R, với mọi hằng số C. Lưu ý rằng, nếu f là hàm liên tục thì ta luôn tìm được nguyên hàm của nó trên tập R. Ký hiệu nguyên hàm gần giống một dấu móc và đã được thể hiện trên hình.

Dưới đây là bảng tổng hợp các nguyên hàm đặc biệt cho học sinh. Học sinh có thể thấy ở đây, các nguyên hàm đặc biệt bao gồm các nguyên hàm lượng giác, hàm logarit, hàm đa thức và hàm mũ có công thức phức tạp. So với các nguyên hàm cơ bản, hầu như chỉ có đơn thức và hằng số thì nguyên hàm đặc biệt yêu cầu độ khó cao hơn và cách giải phức tạp hơn. Tuy nhiên nếu nhớ các dạng cũng như nguyên hàm tổng quát của từng dạng, học sinh sẽ rút ngắn rất nhiều thời gian làm bài.

Có rất nhiều nguyên hàm đặc biệt cần phải nhớ. Tuy nhiên vẫn có mẹo giúp học sinh nhớ bảng nguyên hàm một cách nhanh chóng và lâu dài. Thứ nhất cần chắc chắn các nguyên hàm cơ bản. Thứ hai là thử khai triển các nguyên hàm đặc biệt về cơ bản và ngược lại. Thứ ba, thử phương pháp nhớ gộp. Chẳng hạn như tích phân của sin a bằng -cos a thì nguyên hàm của cos a sẽ bằng sin a.

>> Xem thêm: Giải toán qua mạng

4. Học nguyên hàm như thế nào cho dễ nhớ

Một số phương pháp mà các học sinh nên áp dụng cho cách học toán hiệu quả khi làm các bài nguyên hàm đặc biệt sẽ được liệt kê dưới đây. Có 3 cách để giải tìm một nguyên hàm, đó là sử dụng phương pháp đổi biến, sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và sử dụng máy tính. Hiện nay phương pháp sử dụng máy tính được rất nhiều người dùng đặc biệt là cách sử dụng máy tính casio fx 570ms. Do các kỳ thi đều được tổ chức dưới dạng thi trắc nghiệm. Tuy nhiên, khi vào đại học yêu cầu học sinh phải biết giải theo phương pháp tư duy, logic, tự luận. Do vậy chúng tôi tổng hợp ba phương pháp cơ bản để giải nguyên hàm đặc biệt.

Phương pháp đổi biến bao gồm đổi biến loại 1 và loại 2. Các giải của hai dạng này đều áp dụng dựa trên nguyên lý hay cách giải chung, tổng quát. Học sinh có thể tuân thủ theo bốn bước giải cơ bản. Bước thứ nhất, chọn biến t bằng một hàm thích hợp (thường chọn hàm đơn thức). Bước tiếp theo, vi phân hai vế phải trái ta được dt=đạo hàm của hàm số đã chọn. Bước thứ ba, biểu thị hàm f(x) (vế trái) bằng tích giữa đạo hàm của hàm số đã chọn với hàm g (hàm số đã chọn) - vế phải. Đặt vế phải là g(t).dt suy ra ta có f(x).dx bằng g(t).dt. Bước cuối cùng là tính tích phân của hàm g(t).dt.

Với phương pháp nguyên hàm từng phần ta áp dụng khi hai hàm số liên tục trên một đoạn a,b và đạo hàm của hai hàm số đó cũng phải liên tục trên đoạn a,b.

Ví dụ như tích phân của tích hai hàm (u.v) bằng [tích u.v - tích phân của v.du].

Khi sử dụng phương pháp này, bạn chỉ cần áp dụng công thức là ra. Tuy nhiên cách chọn hàm u,v cũng rất quan trọng. Nếu chọn hàm u.v phức tạp bạn sẽ không giải ra hoặc mất rất nhiều thời gian để làm. 

- Đối với dạng tích phân gồm tích của một đa thức với lượng giác, bạn hãy chọn hàm số u là đa thức vì khi đó đạo hàm ra rất đơn giản. 

- Đối với dạng tích của đa thức với hàm số mũ, học sinh nên chọn hàm số u vẫn là hàm đa thức.

- Đối với dạng tích của đa thức với hàm logarit hơi đặc biệt. Lúc này học sinh nên chọn u là hàm logarit thay hàm đa thức.

Người ta hay có câu giúp học sinh dễ nhớ thứ tự đặt u sao cho nguyên hàm tìm được là dễ nhất: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.”

Ngoài ra, các bạn cũng nên luyện tập và học cách sử dụng máy tính tìm nguyên hàm. Thông thường máy tính chỉ hỗ trợ nguyên hàm cơ bản, đối với các nguyên hàm đặc biệt, bạn nên giải sơ qua để đưa về nguyên hàm cơ bản rồi hẵng sử dụng máy tính nhé.

Trên đây bao gồm bảng tổng hợp các nguyên hàm đặc biệt cho các bạn học sinh. Ngoài ra, bài viết cũng nêu lên một số phương pháp giúp học sinh giải nguyên hàm đặc biệt dễ hơn và nhanh chóng hơn. Trước khi học cách giải nguyên hàm, học sinh cần xác định mục đích của việc giải nguyên hàm đặc biệt, ứng dụng của nó để có tư duy thực tế hơn khi học nguyên hàm. Bên cạnh đó, ghi nhớ tính chất của nguyên hàm để tối thiểu hóa thời gian làm bài.