[Ôn luyện môn Toán] Bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

1. Những kiến thức cần nhớ về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thực chất là những tính chất hay các phép tính được thực hiện nhằm mục đích giúp chúng ta có thể tính ra số lượng một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. Chính vì thế mà các kiến thức về các “thuật toán” này liên quan đến quy tắc đếm hiện nay.

1.1. Kiến thức về quy tắc đếm 

Đối với quy tắc đếm thì trong toán học sẽ có 2 quy tắc đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Với quy tắc cộng: Giả sử một công việc được thực hiện theo 1 trong 2 phương án là A hoặc B. Phần A được thực hiện bằng n cách và phần B được thực hiện bằng m cách. Như vậy thì các cách có thể được sử dụng để hoàn thành công việc ban đầu là n + m cách.

- Với quy tắc nhân: Gia sử một công việc bao gồm 2 công đoạn chính là A và B. Số cách để làm công đoạn A là n cách. Trong khi đó, mỗi cách dùng để thực hiện công đoạn A thì tương ứng với m cách thực hiện công đoạn B. Vậy các cách để thực hiện công việc ban đầu là n.m cách.

Dựa vào 2 quay tắc đếm này ta có thể áp dụng vào trong bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để có thể biết được khi nào dùng quy tắc cộng và khi nào dùng quy tắc nhân trong việc tính số phần tử.

>> Xem thêm: Bài toán tăng giảm khối lượng

1.2. Kiến thức về hoán vị

Về định nghĩa, bạn có thể hiểu hoán vị chính là việc bạn có một tập hợp A gồm n phần tử (điều kiện là n >= 1). Mỗi một kết quả cho việc thực hiện sắp xếp các thứ tự của tập A với n phần tử đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử ban đầu.

Khi đó, số các hoán vị của một tập gồm n phần tử sẽ là: 

Pn = n! = n(n-1)(n-2)...1.

Một lưu ý ở đây mà các bạn học sinh cần ghi nhớ đó là 0! = 1.

Ví dụ: Một băng ghế ngồi được 5 người. Để sắp xếp 5 người ngồi vào băng ghế này thì có tất cả bao nhiêu cách?

Dựa vào thông tin của đề bài thì chúng ta có thể nhận thấy rằng, với mỗi cách đổi chỗ của 1 trong 5 người trên thì sẽ được coi là một hoán vị. Do đó số cách để sắp xếp 5 người vào băng ghế đó là: 

P5 = 5! = 120 cách.

>> Xem thêm: Bài tập hình học không gian 11

1.3. Kiến thức về chỉnh hợp

Định nghĩa của chỉnh hợp như sau: Cho một tập A gồm có n phần tử (điều kiện là n >= 1). Kết quả của việc thực hiện lấy k phần tử khác nhau trong n phần tử đã cho và sắp xếp các phần tử đó theo một thứ tự nhất định thì đây được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ban đầu.

Lúc này, số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (điều kiện là 1=< k =<n) thuộc tập A sẽ là:

Ví dụ: Một băng ghế gồm có 7 chỗ ngồi. Thực hiện việc sắp xếp 5 người vào băng ghế đó sẽ có bao nhiêu cách?

Với mỗi cách thực hiện để chọn ra 5 chỗ ngồi cho 5 người và có hoán vị được xem là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Lúc này đáp án sẽ là 250 cách. 

>> Xem thêm: Bài tập về hàm số bậc nhất lớp 9

1.4. Kiến thức về tổ hợp

Chỉnh hợp sẽ được định nghĩa như sau: Cho một tập A gồm có n phần tử khác nhau (n >= 1). Mỗi một cách thực hiện để chọn ra k (n >= k >= 1) phần tử của tập A đã cho thì sẽ được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ban đầu. 

Trong trường hợp này, số các tổ hợp chập k của n phần tử (điều kiện là 1=< k =<n) sẽ là:

Ví dụ: Có 10 cuốn sách khác nhau. Với việc lấy ra 4 cuốn thì sẽ có tất cả là bao nhiêu cách?

Mỗi một cách chọn ra 4 cuốn trong 10 cuốn sách đã cho được xem là một tổ hợp chập 4 của 10. Do đó, kết quả về tổng số cách có thể thực hiện sẽ là 210 cách.

Đó là những kiến thức cơ bản về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp mà các bạn học sinh cần nắm bắt. Những kiến thức nền tảng này sẽ là cơ sở giúp học sinh có thể hiểu được bản chất, công thức tính và áp dụng trong các bài tập thuận tiện và dễ dàng hơn rất nhiều.

>> Xem thêm: Bài tập đạo hàm

2. Các dạng bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Nắm chắc kiến thức mới chỉ là một phần để giúp các bạn có thể chinh phục các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp và bài tập tổ hợp, bài tập tổ hợp xác xuất dễ gây nhầm lẫn này. việc thường xuyên luyện tập thông qua làm các bài tập thuộc dạng bài này sẽ giúp cho các bạn học sinh hiểu được sâu xa bản chất cũng như việc ghi nhớ công thức tốt hơn. 

Vậy cụ thể thì có những dạng bài tập nào về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp?

2.1. Dạng bài 1: Các bài tập toán đếm theo hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Là dạng bài cơ bản và thường gặp nhất trong những bài toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. phương pháp giải dạng bài tập này như sau:

- Cách nhận biết đây là dạng toán đếm sử dụng tính chất hoán vị của n phần tử. các dấu hiệu gồm:

+ n phần tử của tập đều xuất hiện và có mặt.

+ Mỗi phần tử trong n phần tử đó chỉ xuất hiện duy nhất 1 lần.

+ Có sự phân biệt về thứ tự giữa các phần tử trong tập.

- Cách nhận biết đây là dạng đếm sử dụng tính chất chỉnh hợp chập k của n phần tử. Các dấu hiệu cụ thể:

+ Các phần tử không xuất hiện tất mà bắt buộc phải lựa chọn k phần tử trong n phần tử ban đầu.

+ Trong k phần tử được chọn có sự phân biệt về thứ tự giữa các phần tử.

- Cách nhận biết đây là dạng đếm sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Dấu hiệu nhận biết là:

+ Phải lựa chọn k phần tử trong số n phần tử đã cho.

+ Không có sự phân biệt về thứ tự trong k phần tử được chọn đó.

>> Xem thêm: Bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

2.2. Dạng bài tập 2: Các bài tập rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp

Đây là dạng bài tập chủ yếu là áp dụng công thức và biến đối biểu thức đã cho một cách linh hoạt nhất có thể. Mục đích là đưa biểu thức đó về dạng rút gọn nhất và thuận tiện nhất cho việc tính toán giá trị.

Phương pháp giải của dạng bài tập này chính là sử dụng các công thức tính số phần tử hay cách đếm của hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

>> Xem thêm: Các dạng bài tập về Vectơ lớp 10

2.3. Dạng bài tập 3: Các bài tập chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Bài tập chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức được xem là khá quen thuộc với các bạn học sinh. Với việc chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thì việc chứng minh cũng sẽ dựa khá nhiều vào các công thức cơ bản mà các bạn đã được học.

Phương pháp giải dạng bài tập này như sau:

- Sử dụng các phép biến đổi.

- Thực hiện việc đánh giá vế của bất đẳng thức.

- Chứng minh quy nạp

- Sử dụng phương pháp đếm.

Đây là những cách mà các bạn có thể lựa chọn và áp dụng. Sẽ có những bài chỉ 1 cách là ra, còn có những bài các bạn sẽ phải vận dụng linh hoạt các cách với nhau.

>> Xem thêm: Các dạng bài tập vẫn dụng hằng đẳng thức

2.4. Dạng bài tập 4: Các bài tập về giải phương trình, hệ phương trình hay bất phương trình chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Với dạng bài tập này, các bạn có thể áp dụng 1 trong 2 cách dưới đây:

- Cách làm 1: Thực hiện việc rút gọn và đơn giản hóa phương trình đã cho về dạng đại số quen thuộc để tính toán.

- Cách làm 2: Thực hiện việc đánh giá các vế phương trình để tìm ra đáp án với việc xác định cận trên, cận dưới.

Dưới đây sẽ là một số bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp mà thầy cô, phụ huynh và các bạn học sinh có thể tham khảo.

50-bai-tap-trac-nghiem-to-hop-chinh-hop-hoan-vi-quy-tac-dem-dap-an-giai-chi-tiet[TaiLieuTracNghiem.Net].pdf 102_bai_to_hop_cua_titu_1946.pdf Bài tập có đáp án chi tiết về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 11 phần 1.doc bai_tap_to_hop_6292.doc bai-tap-trac-nghiem-hoan-vi-chinh-hop-to-hop.pdf bt_hoan_vi_chinh_hop_to_hop_8615.pdf chuyen_de_hoan_hop_chinh_hop_to_hop_toan_11_2097.pdf chuyen-de-hoan-vi-chinh-hop-to-hop-nguyen-huu-bien.pdf gt11_34cb__1016.doc mot_vai_bai_tap_va_dap_an_to_hop_4611_30343321_5204.doc tong_hop_quy_tac_dem_hoan_vi_chinh_hop_to_hop_toan_11_5222.pdf

Trên đây chính là những thông tin chi tiết các bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Mong rằng, qua đây các bạn có thể làm chủ và chính phục được dạng toán về cách đếm “tưởng dễ mà lại không dễ” này nhé!