Quay lại

[Ôn luyện môn Toán] Bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Tác giả: Phương Anh Nguyễn Saturday , 20/03/21

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là những kiến thức trong chương trình toán 11 và được đánh giá là quan trọng. Đây sẽ là kiến thức mà các bạn học sinh sẽ cần ghi nhớ để có thể làm bài thi trung học phổ thông quốc gia hay cụ thể là kỳ thi đại học. Việc vận dụng và ghi nhớ các công thức sẽ dễ dàng hơn nếu như các bạn áp dụng vào việc làm bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Vậy, những kiến thức gì cần ghi nhớ và có các dạng bài tập nào về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp? Cùng tìm hiểu chi tiết hơn quá bài viết dưới đây nhé!

1. Những kiến thức cần nhớ về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thực chất là những tính chất hay các phép tính được thực hiện nhằm mục đích giúp chúng ta có thể tính ra số lượng một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. Chính vì thế mà các kiến thức về các “thuật toán” này liên quan đến quy tắc đếm hiện nay.

1.1. Kiến thức về quy tắc đếm 

Đối với quy tắc đếm thì trong toán học sẽ có 2 quy tắc đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Với quy tắc cộng: Giả sử một công việc được thực hiện theo 1 trong 2 phương án là A hoặc B. Phần A được thực hiện bằng n cách và phần B được thực hiện bằng m cách. Như vậy thì các cách có thể được sử dụng để hoàn thành công việc ban đầu là n + m cách.

bài tập về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

- Với quy tắc nhân: Gia sử một công việc bao gồm 2 công đoạn chính là A và B. Số cách để làm công đoạn A là n cách. Trong khi đó, mỗi cách dùng để thực hiện công đoạn A thì tương ứng với m cách thực hiện công đoạn B. Vậy các cách để thực hiện công việc ban đầu là n.m cách.

Dựa vào 2 quay tắc đếm này ta có thể áp dụng vào trong bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để có thể biết được khi nào dùng quy tắc cộng và khi nào dùng quy tắc nhân trong việc tính số phần tử.

1.2. Kiến thức về hoán vị

Về định nghĩa, bạn có thể hiểu hoán vị chính là việc bạn có một tập hợp A gồm n phần tử (điều kiện là n >= 1). Mỗi một kết quả cho việc thực hiện sắp xếp các thứ tự của tập A với n phần tử đó thì được gọi là một hoán vị của n phần tử ban đầu.

Khi đó, số các hoán vị của một tập gồm n phần tử sẽ là: 

Pn = n! = n(n-1)(n-2)...1.

Kiến thức cần nhớ
Kiến thức cần nhớ

Một lưu ý ở đây mà các bạn học sinh cần ghi nhớ đó là 0! = 1.

Ví dụ: Một băng ghế ngồi được 5 người. Để sắp xếp 5 người ngồi vào băng ghế này thì có tất cả bao nhiêu cách?

Dựa vào thông tin của đề bài thì chúng ta có thể nhận thấy rằng, với mỗi cách đổi chỗ của 1 trong 5 người trên thì sẽ được coi là một hoán vị. Do đó số cách để sắp xếp 5 người vào băng ghế đó là: 

P5 = 5! = 120 cách.

1.3. Kiến thức về chỉnh hợp

Định nghĩa của chỉnh hợp như sau: Cho một tập A gồm có n phần tử (điều kiện là n >= 1). Kết quả của việc thực hiện lấy k phần tử khác nhau trong n phần tử đã cho và sắp xếp các phần tử đó theo một thứ tự nhất định thì đây được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ban đầu.

Lúc này, số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (điều kiện là 1=< k =<n) thuộc tập A sẽ là:

Chỉnh hợp
Chỉnh hợp

Ví dụ: Một băng ghế gồm có 7 chỗ ngồi. Thực hiện việc sắp xếp 5 người vào băng ghế đó sẽ có bao nhiêu cách?

Với mỗi cách thực hiện để chọn ra 5 chỗ ngồi cho 5 người và có hoán vị được xem là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Lúc này đáp án sẽ là 250 cách. 

1.4. Kiến thức về tổ hợp

Chỉnh hợp sẽ được định nghĩa như sau: Cho một tập A gồm có n phần tử khác nhau (n >= 1). Mỗi một cách thực hiện để chọn ra k (n >= k >= 1) phần tử của tập A đã cho thì sẽ được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ban đầu. 

Trong trường hợp này, số các tổ hợp chập k của n phần tử (điều kiện là 1=< k =<n) sẽ là:

Tổ hợp
Tổ hợp

Ví dụ: Có 10 cuốn sách khác nhau. Với việc lấy ra 4 cuốn thì sẽ có tất cả là bao nhiêu cách?

Mỗi một cách chọn ra 4 cuốn trong 10 cuốn sách đã cho được xem là một tổ hợp chập 4 của 10. Do đó, kết quả về tổng số cách có thể thực hiện sẽ là 210 cách.

Đó là những kiến thức cơ bản về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp mà các bạn học sinh cần nắm bắt. Những kiến thức nền tảng này sẽ là cơ sở giúp học sinh có thể hiểu được bản chất, công thức tính và áp dụng trong các bài tập thuận tiện và dễ dàng hơn rất nhiều.

2. Các dạng bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Nắm chắc kiến thức mới chỉ là một phần để giúp các bạn có thể chinh phục các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp dễ gây nhầm lẫn này. việc thường xuyên luyện tập thông qua làm các bài tập thuộc dạng bài này sẽ giúp cho các bạn học sinh hiểu được sâu xa bản chất cũng như việc ghi nhớ công thức tốt hơn. 

Vậy cụ thể thì có những dạng bài tập nào về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp?

2.1. Dạng bài 1: Các bài tập toán đếm theo hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Là dạng bài cơ bản và thường gặp nhất trong những bài toán về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. phương pháp giải dạng bài tập này như sau:

Các dạng bài tập
Các dạng bài tập

- Cách nhận biết đây là dạng toán đếm sử dụng tính chất hoán vị của n phần tử. các dấu hiệu gồm:

+ n phần tử của tập đều xuất hiện và có mặt.

+ Mỗi phần tử trong n phần tử đó chỉ xuất hiện duy nhất 1 lần.

+ Có sự phân biệt về thứ tự giữa các phần tử trong tập.

- Cách nhận biết đây là dạng đếm sử dụng tính chất chỉnh hợp chập k của n phần tử. Các dấu hiệu cụ thể:

+ Các phần tử không xuất hiện tất mà bắt buộc phải lựa chọn k phần tử trong n phần tử ban đầu.

+ Trong k phần tử được chọn có sự phân biệt về thứ tự giữa các phần tử.

Về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

- Cách nhận biết đây là dạng đếm sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Dấu hiệu nhận biết là:

+ Phải lựa chọn k phần tử trong số n phần tử đã cho.

+ Không có sự phân biệt về thứ tự trong k phần tử được chọn đó.

2.2. Dạng bài tập 2: Các bài tập rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp

Đây là dạng bài tập chủ yếu là áp dụng công thức và biến đối biểu thức đã cho một cách linh hoạt nhất có thể. Mục đích là đưa biểu thức đó về dạng rút gọn nhất và thuận tiện nhất cho việc tính toán giá trị.

Phương pháp giải của dạng bài tập này chính là sử dụng các công thức tính số phần tử hay cách đếm của hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

2.3. Dạng bài tập 3: Các bài tập chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Bài tập chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức được xem là khá quen thuộc với các bạn học sinh. Với việc chứa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thì việc chứng minh cũng sẽ dựa khá nhiều vào các công thức cơ bản mà các bạn đã được học.

Bài tập chứng minh
Bài tập chứng minh

Phương pháp giải dạng bài tập này như sau:

- Sử dụng các phép biến đổi.

- Thực hiện việc đánh giá vế của bất đẳng thức.

- Chứng minh quy nạp

- Sử dụng phương pháp đếm.

Đây là những cách mà các bạn có thể lựa chọn và áp dụng. Sẽ có những bài chỉ 1 cách là ra, còn có những bài các bạn sẽ phải vận dụng linh hoạt các cách với nhau.

2.4. Dạng bài tập 4: Các bài tập về giải phương trình, hệ phương trình hay bất phương trình chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Với dạng bài tập này, các bạn có thể áp dụng 1 trong 2 cách dưới đây:

Tính giá trị
Tính giá trị

- Cách làm 1: Thực hiện việc rút gọn và đơn giản hóa phương trình đã cho về dạng đại số quen thuộc để tính toán.

- Cách làm 2: Thực hiện việc đánh giá các vế phương trình để tìm ra đáp án với việc xác định cận trên, cận dưới.

Dưới đây sẽ là một số bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp mà thầy cô, phụ huynh và các bạn học sinh có thể tham khảo.

Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay Tải xuống ngay

Trên đây chính là những thông tin chi tiết các bài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Mong rằng, qua đây các bạn có thể làm chủ và chính phục được dạng toán về cách đếm “tưởng dễ mà lại không dễ” này nhé!

Cách làm văn nghị luận xã hội lớp 11 “chuẩn không cần chỉnh”

Văn học lớp 11 luôn là nỗi trăn trở của học sinh và phụ huynh khi kiến thức của nó có liên quan trực tiếp tới các đề thi quan trọng của học sinh và nghị luận xã hội được xác định là không thể vắng mặt trong bộ đề thi THPT quốc gia hàng năm. Vậy làm thế nào để giúp các em dành được điểm cao với dạng đề bài này? Theo dõi những hướng dẫn về cách làm bài văn nghị luận xã hội lớp 11 mà timviec365.vn chia sẻ ngay dưới đây để biết thêm thông tin chi tiết nhé!

Cách làm văn nghị luận xã hội lớp 11

Chia sẻ:

Từ khóa liên quan

Chuyên mục

Bí quyết viết CV -Tâm sự Nghề nghiệp -Cẩm Nang Tìm Việc -Kỹ Năng Tuyển Dụng -Cẩm nang khởi nghiệp -Kinh nghiệm ứng tuyển việc làm -Kỹ năng ứng xử văn phòng -Quyền lợi người lao động -Bí quyết đào tạo nhân lực -Bí quyết lãnh đạo -Bí quyết làm việc hiệu quả -Bí quyết viết đơn xin nghỉ phép -Bí quyết viết thư xin thôi việc -Cách viết đơn xin việc -Bí quyết thành công trong công việc -Bí quyết tăng lương -Bí quyết tìm việc dành cho sinh viên -Kỹ năng đàm phán lương -Kỹ năng phỏng vấn -Kỹ năng quản trị doanh nghiệp -Kinh nghiệm tìm việc làm tại Hà Nội -Kinh nghiệm tìm việc làm tại Đà Nẵng -Mẹo viết hồ sơ xin việc -Mẹo viết thư xin việc -Chia sẻ kinh nghiệm ngành Kinh doanh - Bán hàng -Định hướng nghề nghiệp -Top việc làm hấp dẫn -Tư vấn nghề nghiệp lao động phổ thông -Tư vấn việc làm Hành chính văn phòng -Tư vấn việc làm ngành Báo chí -Tư vấn tìm việc làm thêm -Tư vấn việc làm ngành Bất động sản -Tư vấn việc làm ngành Công nghệ thông tin -Tư vấn việc làm ngành Du lịch -Tư vấn việc làm ngành Kế toán -Tư vấn việc làm ngành Kỹ thuật -Tư vấn việc làm ngành Sư phạm -Tư vấn việc làm ngành Luật -Tư vấn việc làm thẩm định -Tư vấn việc làm vị trí Content -Tư vấn việc làm ngành Nhà hàng - Khách sạn -Tư vấn việc làm quản lý -Kỹ năng văn phòng -Nghề truyền thống -Các vấn đề về lương -Tư vấn tìm việc làm thời vụ -Cách viết Sơ yếu lý lịch -Cách gửi hồ sơ xin việc -Biểu mẫu phục vụ công việc -Tin tức tổng hợp -Ý tưởng kinh doanh -Chia sẻ kinh nghiệm ngành Marketing -Kinh nghiệm tìm việc làm tại Bình Dương -Kinh nghiệm tìm việc làm tại Hồ Chí Minh -Mẹo viết Thư cảm ơn -Góc Công Sở -Câu chuyện nghề nghiệp -Hoạt động đoàn thể -Tư vấn việc làm Biên - Phiên dịch -Tư vấn việc làm Ngành Nhân Sự -Tư vấn việc làm Ngành Xuất Nhập Khẩu - Logistics -Tư vấn việc làm Ngành Tài Chính - Ngân Hàng -Tư vấn việc làm Ngành Xây Dựng -Tư vấn việc làm Ngành Thiết kế - Mỹ thuật -Tư vấn việc làm Ngành Vận tải - Lái xe -Quản trị nhân lực -Quản trị sản xuất -Cẩm nang kinh doanh -Tư vấn việc làm Ngành Thiết kế - Nội thất -Mô tả công việc ngành Kinh doanh -Mô tả công việc ngành Bán hàng -Mô tả công việc Tư vấn - Chăm sóc khách hàng -Mô tả công việc ngành Tài chính - Ngân hàng -Mô tả công việc ngành Kế toán - Kiểm toán -Mô tả công việc ngành Marketing - PR -Mô tả công việc ngành Nhân sự -Mô tả công việc ngành IT - Công nghệ thông tin -Mô tả công việc ngành Sản xuất -Mô tả công việc ngành Giao nhận - Vận tải -Mô tả công việc Kho vận - Vật tư -Mô tả công việc ngành Xuất nhập khẩu – Logistics -Mô tả công việc ngành Du lịch - Nhà hàng - Khách sạn -Mô tả công việc ngành Hàng không -Mô tả công việc ngành Xây dựng -Mô tả công việc ngành Y tế - Dược -Mô tả công việc Lao động phổ thông -Mô tả công việc ngành Kỹ thuật -Mô tả công việc Nhà nghiên cứu -Mô tả công việc ngành Cơ khí - Chế tạo -Mô tả công việc bộ phận Quản lý hành chính -Mô tả công việc Biên - Phiên dịch -Mô tả công việc ngành Thiết kế -Mô tả công việc ngành Báo chí - Truyền hình -Mô tả công việc ngành Nghệ thuật - Điện ảnh -Mô tả công việc ngành Spa – Làm đẹp – Thể lực -Mô tả công việc ngành Giáo dục - Đào tạo -Mô tả công việc Thực tập sinh - Intern -Mô tả công việc ngành Freelancer -Mô tả công việc Công chức - Viên chức -Mô tả công việc ngành Luật - Pháp lý -Tư vấn việc làm Chăm Sóc Khách Hàng -Tư vấn việc làm Vật Tư - Kho Vận -Hồ sơ doanh nhân -Việc làm theo phường -Danh sách các hoàng đế nổi tiếng -Tài liệu gia sư -Vĩ Nhân Thời Xưa -Chấm Công - Xem thêm gợi ý Xem thêm gợi ý
Đăng bình luận.
captcha
Đăng bình luận thành công!
Liên hệ qua skype Liên hệ qua skype