Quay lại

Tham khảo các bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

Tác giả: Vũ Bích Phượng - 29/04/2021

Bất đẳng thức cosi là một phần kiến thức quan trọng, rất khó học trong chương trình học tập ở trung học phổ thông. Nhiều người tỏ ra e ngại khi tiếp xúc với dạng toán này. Bởi thế, bài viết sau đây sẽ cung cấp cho bạn những thông tin hay giúp học tốt kiến thức bất đẳng thức cosi, đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo đa dạng về bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải để bạn rèn luyện nhiều hơn.

1. Để học tốt bất đẳng thức cosi, hãy hiểu nó là gì

Bất đẳng thức cosi còn được gọi với tên gọi khác là bất đẳng thức "trung bình cộng (TBC) và trung bình nhân (TBN)", theo chuẩn cách gọi của quốc tế thì nó chính là AM – GM. Trong rất nhiều cách để giải bài tập bất đẳng thẳng này nhưng cách được ứng dụng nhiều nhất vì dễ chứng minh nhất đó chính là quy nạp do Cauchy tìm ra phương pháp.

Mặc dù là kiến thức rất khó nhưng Bất đẳng thức cosi vẫn được đưa vào trong chương trình giáo dục của bộ môn toán là bởi vì nó cần thiết cho tính ứng dụng của cuộc sống. Thông qua các bài tập về bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức côsi nói riêng mà người học có thể dễ dàng hiểu vấn đề ở chiều sâu hơn bao giờ hết đối với việc giải, biện luận các bài tập bất đẳng thức cosi cho 3 số, các bài toán liên quan tới phương trình (phương trình, hệ phương trình, bất phương trình), các bài toán về tìm giá trị (tìm GTLN, GTNN) của biểu thức, ứng dụng khảo sát hàm số,…

Để học tốt bất đẳng thức cosi, hãy hiểu nó là gì
Để học tốt bất đẳng thức cosi, hãy hiểu nó là gì

Nói tới mảng kiến thức này, có thể thấy rằng nó không quá nặng về lý thuyết nhưng chính mặt logic và đòi hỏi về tư duy, sự suy luận vấn đề khiến cho học gặp trở ngại nhưng cũng chính vì điều đó mà người học có cơ hội được rèn giũa vấn khả năng tư duy ở một cấp độ cao, trí tuệ và sự thông minh luôn được bồi dưỡng trong suốt quá trình học bất đẳng thức cosi và ngay cả trong phong cách học tập về sau này.

Với bất đẳng thức, bất đẳng thức cosi, nó sẽ khiến cho học sinh gặp khó khăn khi giải bài tập vì cách giải của dạng này không giống với bất kỳ dạng toán phổ thông nào khác chẳng hạn như bài tập đạo hàm, bài tập tổ hợp, bài tập tổ hợp xác suấtbài tập về hàm số bậc nhất lớp 9bài tập về xét dấu tam thức bậc 2các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thứccác dạng nguyên hàm đặc biệtbài tập về hoán vị chỉnh hợp tổ hợp, chỉnh hợp và tổ hợp,... do nó chẳng có một quy chuẩn, nguyên tắc nào làm thước đo để tìm ra đáp án. Vì vậy, ở đây, chúng ta sẽ nắm bắt những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức cosi, đi vào hướng giải nhiều bài tập ở dạng này để có thể dựa vào những gì thu nạp được và bằng cách "quen tay, hay làm" mà có thể giải bài tập hiệu quả hơn ở dạng toán này cũng như hỗ trợ cho cách học toán hiệu quả hơn.

2. Nắm bắt các phần nội dung kiến thức quan trọng thuộc về bất đẳng thức cosi

2.1. Công thức áp dụng của bất đẳng thức cosi là gì?

Công thức cosi ở dạng tổng quát sẽ được áp dụng theo công thức sau đây:

Công thức tổng quát của bất đẳng thức cosi
Công thức tổng quát của bất đẳng thức cosi

Ở dạng chi tiết, bất đẳng thức này có dạng như sau

Công thức chi tiết của BĐT Cosi
Công thức chi tiết của BĐT Cosi

Nhìn chung khi sử dụng các công thức này, bạn sẽ thuận lợi giải ra bài toán về bất đẳng thức cosi. Nếu chăm làm bài tập thì các công thức này sẽ nhanh chóng được ghim vào trí nhớ của bạn, sử dụng đến độ thuần thục để học toán về bất đẳng thức dễ dàng hơn.

>> Xem thêm: Trung tâm luyện thi đại học

2.2. Hướng áp dụng các kỹ thuật cơ bản vào giải bài tập BĐT cosi hiệu quả

Một trong những yếu tố giúp bạn học tốt nội dung về bất đẳng thức cosi đó chính là phải thuần thục khi sử dụng nó trong thực tiễn thay vì chỉ học thuộc lòng, học ghi nhớ nó như một cái máy. Vì bất đẳng thức này bản chất không có quá nhiều lý thuyết nếu như không muốn nói rằng lý thuyết của mảng toán học này rất ít. Vậy nên việc học thuộc lòng như một cái máy sẽ chẳng giúp ích được gì nhiều.

Bí quyết chuẩn chỉnh ở đây chính là phải ứng dụng thạo các kỹ thuật của bất đẳng thức sao cho logic và hợp lý. Bạn có thể tham khảo để sử dụng một số kỹ thuật sau đây:

- Lựa chọn điểm rơi

- Tách nghịch đảo

- Kỹ thuật ghép, kết nối các vế, yếu tố đối xứng nhau trong bất đẳng thức

- Đưa ra sự đánh giá phù hợp từ TBC chuyển sang TBN

- Khi đánh giá từ Trung Bình nhân chuyển qua Trung bình cộng thì cần thực hiện kỹ thuật nhân thêm đối với Hằng số.

- Ghép các cặp có mối quan hệ nghịch đảo nhau trong các trường hợp 3 số và n số.

- Đổi biến số.

Mỗi kỹ thuật trên đây đều có các bài tập phù hợp để áp dụng. bạn có thể tham khảo những ví dụ minh họa sau đây để thấy được đặc trưng này và cũng có thể ứng dụng khi nhận diện các dạng bài tập để lựa chọn kỹ thuật giải

Các bài tập sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo trong BĐT Cosi
Các bài tập sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo trong BĐT Cosi

Giải bài tập về bất đẳng thức cosi cũng là việc chúng ta sẽ phải chứng minh một điều kiện, một kết quả nào đó. Một số dạng toán chứng minh của bđt này được thực hiện như thế nào? Hãy tiếp tục cùng Bích Phượng nắm bắt phương pháp thực hiện bạn nhé.

>> Xem thêm: Các dạng toán lớp 9 ôn thi vào 10

3. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức cosi

3.1. Dạng 1: BĐT cosi – chứng minh với 2 số thực không âm

Với điều kiện  a = 0, b = 0, ta luôn có bất đẳng thức cosi đúng. Do đó, nhiệm vụ của người học cần phải chứng minh bđt sẽ luôn luôn đúng trong trường hợp số a và số b đều là những số dương. (1)

Dưới đây là công thức chung của bất đẳng thức:

Công thức chứng minh bđt cosi đối với hai số không âm (là số thực)
Công thức chứng minh bđt cosi đối với hai số không âm (là số thực)

Với công thức trên, bạn đã có thể dễ dàng chứng minh được rằng, BĐT cosi đã đưa ra trong đề bài luôn đsng với điều kiện tất cả các số a, số b đều là số dương (2).

Từ (1) và (2) có thể kết luận được rằng, bất đẳng thức này sẽ luôn luôn đúng khi a, b là 2 số thực không âm.

>> Xem thêm: Cách sử dụng máy tính casio fx 570ms

3.2. Dạng 2: Chứng minh trong trường hợp 3 số thực không âm

Nếu ta đã có sẵn tiền đề a = 0, b = 0, c = 0 thì chắc chắn bất đẳng thức được cho sẽ luôn đúng. Vì vậy, phương pháp thực hiện ở đây chính là chứng minh nó sẽ đúng trong trường hợp cả 3 số a, b và c là những số thực dương.

Lúc này hướng dẫn giải bài toán sẽ được thực hiện theo công thức sau đây:

Giải bài toán khi ba số thực không âm
Giải bài toán khi ba số thực không âm

Tương tự chúng ta có rất nhiều trường hợp cần phải chứng minh ở dạng toán bất đẳng thức cosi này. Có thể là chứng minh nó với 4 số thực không âm hoặc cho đến n số thực không âm. Trong quá trình học, được giáo viên hướng dẫn tỉ mỉ, nhiệm vụ của người học sinh đó là chăm chú lắng nghe và tìm ra quy luật chung của hướng giải bài tập để dù cho có yêu cầu chứng minh với bất kể bao nhiêu số thực trong bất đẳng thức thì bạn vẫn sẽ có thể dễ dàng thực hiện.

Và không điều gì có thể vượt qua quy luật quen công thức không bằng "quen tay hay làm". Hãy chăm chỉ làm thật nhiều bài tập ở các dạng khác nhau trong bài toán này để trở nên thông thạo. Đó cũng chính là phương pháp duy nhất giúp cho bạn nhanh chóng học tốt kiến thức về bất đẳng thức cosi. Tải ngay những tư liệu sau về máy để tiến hành giải bài tập thường xuyên nhé.

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay 

Tải xuống ngay

Tải xuống ngay

Vậy là trên đây, Bích Phượng đã cùng các bạn nắm bắt những kỹ thuật cơ bản và các dạng bài tập về bất đẳng thức cosi. Phương pháp "gia truyền" của người học toán đối với dạng toán này đó chính là luôn luôn thực hành một cách chăm chỉ mới có thể giúp bạn học toán về BĐT cosi tốt hơn. Đồng thời đừng  quên tải về và thực hành bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải trên đây nhé.

Những câu chuyện nghề nghiệp hay

Những câu chuyện nghề nghiệp hay sẽ là một lời tâm sự kín giúp bạn lựa chọn nghề nghiệp phù hợp với sở thích và khả năng của bản thân mình. Đọc ngay những lời hay ý đẹp ở câu chuyện nghề nghiệp dưới đây, bạn sẽ biết rõ được bản thân mình nên đi theo hướng nghiệp nào.

Câu chuyện nghề nghiệp

Chia sẻ:

Từ khóa liên quan

Chuyên mục

Bí quyết viết CV- Tâm sự Nghề nghiệp- Cẩm Nang Tìm Việc- Kỹ Năng Tuyển Dụng- Cẩm nang khởi nghiệp- Kinh nghiệm ứng tuyển việc làm- Kỹ năng ứng xử văn phòng- Quyền lợi người lao động- Bí quyết đào tạo nhân lực- Bí quyết lãnh đạo- Bí quyết làm việc hiệu quả- Bí quyết viết đơn xin nghỉ phép- Bí quyết viết thư xin thôi việc- Cách viết đơn xin việc- Bí quyết thành công trong công việc- Bí quyết tăng lương- Bí quyết tìm việc dành cho sinh viên- Kỹ năng đàm phán lương- Kỹ năng phỏng vấn- Kỹ năng quản trị doanh nghiệp- Kinh nghiệm tìm việc làm tại Hà Nội- Kinh nghiệm tìm việc làm tại Đà Nẵng- Mẹo viết hồ sơ xin việc- Mẹo viết thư xin việc- Chia sẻ kinh nghiệm ngành Kinh doanh - Bán hàng- Định hướng nghề nghiệp- Top việc làm hấp dẫn- Tư vấn nghề nghiệp lao động phổ thông- Tư vấn việc làm Hành chính văn phòng- Tư vấn việc làm ngành Báo chí- Tư vấn tìm việc làm thêm- Tư vấn việc làm ngành Bất động sản- Tư vấn việc làm ngành Công nghệ thông tin- Tư vấn việc làm ngành Du lịch- Tư vấn việc làm ngành Kế toán- Tư vấn việc làm ngành Kỹ thuật- Tư vấn việc làm ngành Sư phạm- Tư vấn việc làm ngành Luật- Tư vấn việc làm thẩm định- Tư vấn việc làm vị trí Content- Tư vấn việc làm ngành Nhà hàng - Khách sạn- Tư vấn việc làm quản lý- Kỹ năng văn phòng- Nghề truyền thống- Các vấn đề về lương- Tư vấn tìm việc làm thời vụ- Cách viết Sơ yếu lý lịch- Cách gửi hồ sơ xin việc- Biểu mẫu phục vụ công việc- Tin tức tổng hợp- Ý tưởng kinh doanh- Chia sẻ kinh nghiệm ngành Marketing- Kinh nghiệm tìm việc làm tại Bình Dương- Kinh nghiệm tìm việc làm tại Hồ Chí Minh- Mẹo viết Thư cảm ơn- Góc Công Sở- Câu chuyện nghề nghiệp- Hoạt động đoàn thể- Tư vấn việc làm Biên - Phiên dịch- Tư vấn việc làm Ngành Nhân Sự- Tư vấn việc làm Ngành Xuất Nhập Khẩu - Logistics- Tư vấn việc làm Ngành Tài Chính - Ngân Hàng- Tư vấn việc làm Ngành Xây Dựng- Tư vấn việc làm Ngành Thiết kế - Mỹ thuật- Tư vấn việc làm Ngành Vận tải - Lái xe- Quản trị nhân lực - Quản trị sản xuất- Cẩm nang kinh doanh- Tư vấn việc làm Ngành Thiết kế - Nội thất- Mô tả công việc ngành Kinh doanh- Mô tả công việc ngành Bán hàng- Mô tả công việc Tư vấn - Chăm sóc khách hàng- Mô tả công việc ngành Tài chính - Ngân hàng- Mô tả công việc ngành Kế toán - Kiểm toán- Mô tả công việc ngành Marketing - PR- Mô tả công việc ngành Nhân sự- Mô tả công việc ngành IT - Công nghệ thông tin- Mô tả công việc ngành Sản xuất- Mô tả công việc ngành Giao nhận - Vận tải- Mô tả công việc Kho vận - Vật tư- Mô tả công việc ngành Xuất nhập khẩu – Logistics- Mô tả công việc ngành Du lịch - Nhà hàng - Khách sạn- Mô tả công việc ngành Hàng không- Mô tả công việc ngành Xây dựng- Mô tả công việc ngành Y tế - Dược- Mô tả công việc Lao động phổ thông- Mô tả công việc ngành Kỹ thuật- Mô tả công việc Nhà nghiên cứu- Mô tả công việc ngành Cơ khí - Chế tạo- Mô tả công việc bộ phận Quản lý hành chính- Mô tả công việc Biên - Phiên dịch- Mô tả công việc ngành Thiết kế- Mô tả công việc ngành Báo chí - Truyền hình- Mô tả công việc ngành Nghệ thuật - Điện ảnh- Mô tả công việc ngành Spa – Làm đẹp – Thể lực- Mô tả công việc ngành Giáo dục - Đào tạo- Mô tả công việc Thực tập sinh - Intern- Mô tả công việc ngành Freelancer- Mô tả công việc Công chức - Viên chức- Mô tả công việc ngành Luật - Pháp lý- Tư vấn việc làm Chăm Sóc Khách Hàng - Tư vấn việc làm Vật Tư - Kho Vận- Hồ sơ doanh nhân- Việc làm theo phường- Danh sách các hoàng đế nổi tiếng- Tài liệu gia sư- Vĩ Nhân Thời Xưa- Chấm Công- Danh mục văn thư lưu trữ- Tài Sản Doanh Nghiệp- KPI Năng Lực- Nội Bộ Công Ty - Văn Hóa Doanh Nghiệp- Xem thêm gợi ý Xem thêm gợi ý
Liên hệ qua zalo Liên hệ qua skype