Tổng quan kiến thức và dạng bài tập hình học không gian 11

1. Hình học không gian 11 là gì?

1.1. Những kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11.

Tất cả các bề mặt như mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ phản chiếu cho ta thấy được hình ảnh của mặt phẳng. Cũng như mặt phẳng thì không có bề dày và không có giới hạn.

Để vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian ta dựa vào các quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, tương ứng của đoạn thẳng thì sẽ là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, tương tự của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ giữa điểm và đường thẳng

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn các đường nhìn thấy và dùng nét đứt để vẽ những đường bị che khuất. 

>> Xem thêm: Cách sử dụng máy tính Casio fx 570ms

1.2. Quan hệ song song

Hai mặt phẳng song song khi đáp ứng yêu cầu không có điểm chung thì ta nói hai mặt phẳng song song với nhau. 

- Nếu đường thẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau là a. b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì  (α) và  (β) song song với nhau.

- Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta chỉ vẽ được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

- Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng đồng thời cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

- Định lý Ta-lét: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tương ứng tỷ lệ.

Ví dụ: nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kỳ cắt ba mặt phẳng song song thì (α), (β), (у) lần lượt tại các điểm A,B,C và A’,B’,C’ thì AB/A’B’= BC/B’C’=CA/C’A’

1.3. Vector trong không gian

Vector trong không gian là đoạn thẳng có hướng nhất định. Ký hiệu là ➝ chỉ điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng. 

Các quy tắc về việc sử dụng vector trong không gian bao gồm các quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trung tuyến, quy tắc trọng tâm, quy tắc hình hộp. Tất cả những kiến thức này chúng ta sẽ được học trong sách giáo khoa hình học 11. 

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng với nhau nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Ví dụ về vector trong không gian như sau: 

Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là các trung điểm của AB và CD. Chứng minh ba vecto BC, AD, EF đồng phẳng.

Lời giải:

Gọi P và Q lần lượt là các trung điểm của AC và BD. Ta sẽ có PE 〃 FQ và PE = FQ = ½ AD.

=> Tứ giác EFPQ là hình bình hành.

(EFPQ) chứa đường thẳng EF và song song với đường thẳng AD và BC

=>EF, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng.

=>Ba vecto BC, EF, AD đồng phẳng.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng với nhau:

Trong không gian cho hai vectơ a và b không cùng phương và vecto c. Khi đó, ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c= ma+nb. Ứng dụng của tích vô hướng trong tính độ dài đoạn thẳng và xác định góc giữa hai vectơ.

1.4. Quan hệ vuông góc

Trong bài tập về quan hệ vuông góc cần hiểu được những kiến thức cơ bản về đường thẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng khi nào? Những định nghĩa, tính chất và lý thuyết chung của nó. 

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và chứng minh nó.

Ví dụ bài tập: Tứ diện ABCD có hai mặt, ΔACB và ΔCBD  là hai tam giác cân có chung đáy là BC. I là trung điểm của BC. Chứng minh:

a/ BC vuông góc với (ADI)

b/ Gọi AH là đường cao của ΔADI. Chứng minh AH 丄 (BCD)

Lời giải chi tiết:

a/ Do tam giác ABC VÀ BCD là hai tam giác cân tại A và D, ta có:

AI 丄 BC

DI 丄 BC 

Mà trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao

=> BC 丄 (ADI)

b/ Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AH 丄 DI. 

Mặc khác BC 丄 (ADI) => BC 丄 AH

=> AH 丄(BCD)

1.5. Bài toán về góc

Trong bài tập về góc, cần phải xác định các đặc điểm về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa cạnh bên và mặt đáy, cách tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao, góc giữa đường cao và mặt bên, công thức, lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng,... Nhìn chung bài tập và kiến thức về hình học không gian là rất rộng và bao la. 

Nếu chỉ học trong sách giáo khoa thôi là không đủ, học sinh cần phải làm bài tập thường xuyên và nhiều để rèn luyện kỹ năng về phản xạ với hình không gian.

2. Các dạng bài tập hình học không gian 11 và lời giải hay

Các bài tập về hình học không gian 11 cũng rất đa dạng và phong phú cũng như có rất nhiều lời giải hay. Dưới đây là những loại bài tập đặc trưng nhất cùng lời giải tương ứng.

Bài toán 1: bài tập về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cách làm: 

- Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó, điểm chung thứ nhất thường dễ nhận thấy. Điểm chung thứ hai thường là giao điểm của hai đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

- Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa, khi đó giao tuyến của nó sẽ đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng này.

Ví dụ bài tập: Hình chóp S.ABCD có △SBC lấy điểm M, trong △SCD lấy điểm N. Tìm giao tuyến của (SMN) và (ABCD)

Lời giải: 

Trong (SBC), gọi E= SM ∩ BC => E= (SMN) ∩ (ABCD)

Trong (SCD), gọi F= SN ∩ CD =>F= (SMN)∩(ABCD)

=> EF= (SMN)∩(ABCD)

Bài toán 2: tìm giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Phương pháp làm đối với dạng bài này là ta tìm giao điểm của a với đường thẳng b bất kỳ nào đó nằm trong (P). Sau khi không thấy đường thẳng b ta thực hiện:

- Tìm (Q) có chứa a

- Từ đó tìm ra giao tuyến b của (P) và (Q)

- Gọi A= a∩b thì A= a ∩(P).

Bài tập 3: dựng thiết diện (P) và một khối đa diện T.

Muốn dựng được thiết diện (P) với khối đa diện ta đi tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng T. 

- Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) và mặt phẳng T.

- Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm tương ứng với các cạnh của mặt này để từ đó là tương tự với các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ được thiết diện cần dựng.

Với mỗi dạng bài tập sẽ có cách giải và lời giải khác nhau tùy thuộc vào mức độ và tính chất khó dễ của từng bài. 

Bài tập 4: chứng minh 3 đường thẳng đồng quy 

Để chứng minh được ba đường thẳng đồng quy thông thường người ta có hai phương pháp chính:

Phương pháp đầu tiên và cũng là phương pháp trực tiếp đó là chứng minh giao điểm của hai đường thẳng bất kỳ có điểm chung của hai mặt phẳng và giao tuyến của nó vẫn là đường thẳng thứ ba. Có nghĩa là:

- Tìm giao điểm của d và d’ là một điểm H do mình đặt tên

- Tìm 2 mặt phẳng  (α) và (β) cùng chứa điểm H sao cho  (α) và (β)= d’’

Phương pháp thứ hai là ta chứng minh ba đường thẳng d1, d2, d3 không đồng phẳng và từng đôi một cắt nhau.

Bài tập 5: Chứng minh đường thẳng d // (α)

Phương pháp để chứng minh bài toán này là ta tìm đường thẳng d’ song song với đường thẳng d, trong khi đó d’ lại thuộc (α). Như vậy thì đương nhiên theo tính chất bắc cầu d cũng sẽ song song với (α).

Một phương pháp nữa khi mà không thể áp dụng được phương pháp trên đó là chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng khác và song song với mặt phẳng đã cho trước. Chứng minh d thuộc mặt phẳng (β) sao cho (α) // (β).

3. Cách học giỏi hình học không gian 11

3.1. Biết cách tưởng tượng và vẽ hình chính xác là bước quan trọng đầu tiên

Trước khi bước vào giải một bài tập hình học không gian hãy chắc chắn rằng bạn vẽ hình đúng nhất là việc hình nhìn thấy và hình bị che khuất. Nét nào được vẽ liền và nét nào cần vẽ bằng nét đứt. 

Xem xét thật kỹ về yêu cầu đề bài để xác định đúng dạng bài và cách làm. Hãy ghi nhớ kỹ công thức, đặc tính và tác động của chúng để sử dụng cho từng bài tập khác nhau. Đây cũng là một trong những cách học toán hiệu quả.

3.2. Luyện làm nhiều dạng đề khác nhau để thành thạo

Thiên tài chỉ có 1% là thông minh còn 99% còn lại là nhờ nỗ lực và cố gắng. Chính vì vậy, học sinh cần rèn luyện và làm bài tập thật nhiều để trau dồi khả năng cũng như biết nhiều các dạng đề khác nhau trong quá trình làm bài, điều này không chỉ áp dụng riêng cho các bài tập hình học không gian mà nó còn có thể sử dụng cho các dạng bài, kiến thức khác chẳng hạn như bài tập tổ hợp xác suất, bài tập tổ hợp, bất đẳng thức cosi cho 3 số, bài tập về hàm số bậc nhất lớp 9, bài tập xét dấu tam thức bậc 2, bài tập phép vị tự, bài tập đạo hàm, các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức, các dạng bài tập về vectơ lớp 10, các dạng nguyên hàm đặc biệt, cách tính thể tích tứ diện, cách chứng minh hình bình hành, các tính chất của tam giác,... 

Càng vẽ nhiều hình học không gian khác nhau, học sinh sẽ càng thành thạo và tưởng tượng cũng như nắm bắt được nhiều khía cạnh khác nhau của vấn đề đưa ra trong bài tập hình học không gian.

3.3. Đầu tư công sức và thời gian cho việc làm bài tập và tham khảo nhiều dạng bài tập hình học không gian trên mạng.

Sách giáo khoa và sách bài tập là những bài cơ bản về kiến thức và kỹ năng cho bản thân. Để có những kiến thức nâng cao và chuẩn bị hành trang bước vào kỳ thi lớp 12 hoặc đại học, thì bài tập về hình học không gian 11 là yếu tố bắt buộc và cần thiết trong các đề thi.

Dựa vào tính chất của các bài thi có sự linh hoạt và phân theo mức độ đánh giá năng lực cá nhân, nên các bài thi hình học không gian 11 có sự phân hóa học sinh cao. Đặc biệt là trong các bài thi vào lớp 12 và thi tuyển đại học. Dưới đây là một số bài tập các dạng về hình học không gian 11 chuẩn bị cho học sinh thi đại học các bạn có thể tham khảo và cùng đưa ra những lời giải hay nhé.

phan-dang-va-bai-tap-hinh-hoc-11-ki-1.pdf 

bài tập hình học không gian 11.pdf 

CD1_QHVuongGoc.pdf 

bai-tap-hinh-hoc-khong-gian.doc 

73-NOI-DUNG-tu-mot-bai-toan-hinh-hoc.pdf 

Đường-thẳng-mặt-phẳng-và-quan-hệ-song-song.doc

duong-thang-va-mat-phang-vuong-goc.pdf 

PHUONG-PHAP-GIAI-HINH-KG-THI-DH.pdf 

1Mo-dau-ve-hinh-khong-gian.pdf 

tai-lieu-hinh-hoc-khong-gian-danh-cho-hoc-sinh-lop-11.pdf

Hy vọng những thông tin hữu ích và những bài tập chất lượng sẽ mang đến cho các bạn học sinh những kiến thức bổ ích. Thông qua những tài liệu đưa ra ở trên hy vọng các bạn học sinh sẽ tự tin làm bài và nâng cao kiến thức cho bản thân.